Sistem Bilangan Real

SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG :

1.    Hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx

2.    Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z

3.    Hukum distributif : x(y + z) = xy + xz

4.    Unsur identitas : Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x

5.    Invers : Setiap bilangan x mempunyai invers penambahan (juga disebut negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. Setiap bilangan x, kecuali 0 juga mempunyai invers perkalian (disebut juga kebalikan), x^-1 , yang memenuhi x . x^-1 = 1

SIFAT-SIFAT URUTAN

1.    Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x < y atau x = y atau x > y.

2.    Kentransitifan : x < y dan y < z → x < z

3.    Penambahan : x < y ↔ x + z < y + z

4.    Perkalian : Apabila z positif, x < y ↔ xz < yz. Apabila z negatif x < y ↔ xz > yz

Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) adalah sepupu pertama dari <. Relasi ini didefinisikan sebagai :

x ≤ y ↔ y – x positif atau nol

Sifat-sifat urutan 2, 3, dan 4 berlaku dengan lambang-lambang < dan > diganti oleh ≤ dan ≥.

TEOREMA

Jumlah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional

Bukti : Cara 1

Teorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut : “Jika  x = m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat, dan jika y adalah bilangan tak rasional, maka x + y adalah tak rasional”. Kita andaikan  x + y rasional, yakni kita andaikan bahwa x + y = p/q dengan p dan q adalah bilangan bulat, maka :

ini berarti y adalah bilangan rasional, bertentangan dengan pengandaian kita. Teorema terbukti.

Bukti : Cara 2

Bukti dengan kontradiksi yaitu :

Pada teorema diatas, andaikan R adalah pernyataan : Jumlah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional. Pembuktian kita menunjukkan bahwa ~R tidak benar (mustahil). Kita simpulkan bahwa R harus benar.  Teorema terbukti.